بيش از دو هزار سال پيش ارشميدس (287-212 قبل از ميلاد) فرمول هايي را براي محاسبه سطح  وجه ها ، ناحيه ها و حجم هاي جامد  مثل كره ، مخروط و سهمي يافت . روش انتگرال گيري ارشميدس استثنايي و فوق العاده بود جبر ، نقش هاي بنيادي ، كليات و حتي واحد اعشار را هم نمي دانست .

ليبنيز (1716-1646) و نيوتن (1727-1642) حسابان را كشف كردند . عقيده كليدي آنها اين بود كه مشتق گيري و انتگرال گيري اثر يكديگر را خنثي مي كنند با استفاده از اين ارتباط ها آنها توانستند تعدادي از مسائل مهم در رياضي ، فيزيك و نجوم را حل كنند.

فورير (1830-1768) در مورد رسانش گرما بوسيله سلسله زمان هاي مثلثاتي را مي خواند تا نقش هاي بنيادي را نشان دهد .رشته هاي فورير و جابجايي انتگرال امروزه در زمينه هاي مختلفي چون داروسازي و موزيك اجرا مي شود .

گائوس (1855-1777) اولين جدول انتگرال را نوشت و همراه ديگران سعي در عملي كردن انتگرال در رياضي و علوم فيزيك كرد . كايوچي (1857-1789) انتگرال را در يك دامنه همبستگي تعريف كرد . ريمان (1866-1826) و ليبيزگو (1941-1875) انتگرال معين را بر اساس يافته هاي مستدل و منطقي استوار كردند .

ليوويل (1882-1809) يك اسكلت محكم براي انتگرال گيري بوجود آورد بوسيله فهميدن اينكه چه زماني انتگرال نامعين از نقش هاي اساسي دوباره در مرحله جديد خود نقش اساسي مرحله بعد هستند . هرميت (1901-1822) يك شيوه علمي براي انتگرال گيري به صورت عقلي و فكري ( يك روش علمي براي انتگرال گيري سريع ) در دهه 1940 بعد از ميلاد استراسكي اين روش را همراه لگاريتم توسعه بخشيد .

در دهه بيستم ميلادي قبل از بوجود آمدن كامپيوترها رياضيدانان تئوري انتگرال گيري و عملي كردن آن روي جداول انتگرال را توسعه داده بودند و پيشرفت هايي حاصل شده بود .در ميان اين رياضيدانان كساني چون واتسون ، تيچمارش ، بارنر ، ملين ، ميچر ، گرانبر ، هوفريتر ، اردلي ، لوئين ، ليوك ، مگنوس ، آپل بلت ، ابرتينگر ، گرادشتاين ، اكستون ، سريواستاوا ، پرودنيكف ، برايچيكف و ماريچيف حضور داشتند .

در سال 1969 رايسيچ پيشرفت بزرگي در زمينه روش علمي گرفتن انتگرال نامعين حاصل كرد . او كارش را بر پايه تئوري عمومي و تجربي انتگرال گيري با قوانين بنيادي منتشر كرد روش او عملاً در همه گروه هاي قضيه بنيادي كارگر نيست تا زماني كه در وجود آن يك معادله سخت مشتق گيري هست كه نياز دارد تا حل شود . تمام تلاش ها ااز آن پس بر روي حل اين معادله با روش علمي براي موفقيت هاي مختلف قضيه اساسي گذاشته شد . ايت تلاش ها باعث پيشرفت كامل سير و روش علمي رايسيچ شد . در دهه 1980 پيشرفت هايي نيز براي توسعه روش او در موارد خاص از قضيه هاي مخصوص و اصلي او شد .

از قابليت تعريف انتگرال معين به نتايجي دست ميابيم كه نشان دهنده قدرتي است كه در رياضيات مي باشد (1988) جامعيت و بزرگي به ما ديدگاه موثر و قوي در مورد گسترش در  رياضيات و همچنين كارهاي انجام شده در قوانين انتگرال مي دهد . گذشته از اين رياضيات توانايي دارد تا به تعداد زيادي از نتيجه هاي مجموعه هاي مشهور انتگرال پاسخ دهد ( اينكه بفهميم اين اشتباهات ناشي از غلط هاي چاپي بوده است يا نه ) . رياضيات اين را ممكن مي سازد تا هزاران مسئله انتگرال را حل نماييم به طوريكه تا كنون در هيچ يك از كتابهاي دستنويس قبلي نيامده باشد . در آينده ديگر وظيفه ضروري انتگرال اين است كه به ازمايش تقارب خطوط ، ارزش اصلي آن و مكانيسم فرض ها بپردازد .

در محافل دوستانه شما می توانید با استفاده از خواص اعداد، و به کمک عملیات کوچک ریاضی، غیب گویی کنید، و حاضران را متعجب سازید. ما چند نمونه از این گونه پیش گویی های ریاضی را مطرح می سازیم، که بی شک مورد توجه قرار خواهند گرفت. این غیب گویی ها طوری طرح شده اند، که اگر در یک جلسه بارها مورد استفاده قرار گیرند، باز هم کسی به رمز آنها پی نخواهد برد، و مسئله همچنان به صورت غامض باقی خواهد ماند.

1)   با یک روش خاص می توانید تعیین کنید، که سن دوست شما چند سال و چند ماه است! ابتدا از دوست خود بخواهید، شماره ی ترتیب هر ماه را، که در آن متولد شده است، روی کاغذ یادداشت کند، بدون آنکه به شما نشان دهد. می دانیم که شماره ی ردیف فروردین1، اردیبهشت2، خرداد3، و ... خواهد بود. حال از او خواهش کنید، که اعمال زیر را مرتباً روی آن انجام دهد: ردیف ماه تولد خود را روی کاغذ (دور از چشم شما) بنویسد و آن را در 2 ضرب کند. سپس روی نتیجه حاصل 5 اضافه نماید. آنگاه عدد حاصل را در 50 ضرب نماید، و به عدد حاصل سن خود را (بر حسب سال) بیفزاید و سرانجام عدد 365 را، که تعداد روزهای سال است، از عدد اخیر کم کند. و آن وقت عدد حاصل را روی یک صفحه کاغذ بنویسد، و به شما تحویل دهد. وقتی شما این عدد را گرفتید، روی آن 115 را اضافه کنید. عددی به دست خواهد آمد، که یک یا دو رقم سمت چپ ماه تولد او را مشخص خواهد کرد، و دو رقم سمت راستسن او را بر حسب سال معین خواهد نمود.

مثال: دوست شما 21 سال دارد و در تیر ماه به دنیا آمده است. تیر ماه چهارمین ماه سال است. او ابتدا آن را در 2 ضرب می کند، تا 8 به دست آید. سپس 8 را با 5 جمع می کند، تا 650 به دست آید، و به این عدد شمار سال های عمر خود را، که 21 سال است، می افزاید، تا 671 حاصل گردد. از همین عدد 365 را کم می کند، و باقی آن را که 306 است، به شما تحویل می دهد. و شما روی آن 115 اضافه می کنید، تا 421 شود. از این عدد دو رقم سمت راست، یعنی 21، نشان دهنده ی سن، و رقم 4 نیز عبارت از ماه تولد او یعنی تیر ماه است.

2)   به روش زیر شما می توانید فقط از روز و ماه تولد دوست خود باخبر شوید. برای این کار از یک دوست می خواهید، دور از چشم شما، روز تولد خود را روی صفحه کاغذ بنویسد. سپس در طرف راست آن یک صفر قرار دهد، تا مثلاً اگر 18 است، 180 شود. آن گاه عدد حاصل را دو برابر کند، و عدد به دست آمده را با 73 جمع کند. آن گاه حاصل جمع را 5 برابر کند، و به عددی که حاصل می شود، شماره ی ترتیب ماه تولد خود را بیفزاید. و بالاخره عدد حاصل را روی یک صفحه کاغذ بنویسد، و به شما تحویل دهد. اکنون شما از عدد مزبور 365 کم کنید. دو رقم راست عدد حاصل ماه تولد، و ارقام سمت چپ روز تولد او را مشخص خواهند کرد.

مثال: دوست شما در 27 بهمن ماه متولد شده است. وی ابتدا جلوی 27 یک صفر قرار می دهد، تا 270 شود. سپس آن را دو برابر می کند تا 540 حاصل گردد. روی آن 73 می افزاید، تا 613 شود. عدد اخیر را 5 برابر می کند، تا 3065 گردد. روی آن ردیف ماه تولد (11) را اضافه می کند، تا 3076 حاصل شود. وقتی 3076 به شما داده شد، شما 365 را از آن کم کنید، تا 2711 را به دست آورید. از این عدد دو رقم سمت راست ترتیب ماهها یعنی بهمن را نشان می دهد، و 27 روز تولد او را مشخص می کند.

3)   به کمک سه رقم دلخواه که توسط دوست شما گرفته می شود، و اعمالی که روی آنها توسط وی انجام می یابد، از شمار سالهای عمر دوست خود آگاه بشوید. این روش یکی از پیچیده ترین انواع پیدا کردن سن اشخاص است، که باهوش ترین افراد نیز از کشف رمز آن عاجز می مانند. در اینجا ما چگونگی آن را با شما در میان می گذاریم: از دوستتان بخواهید، که دور از چشم شما، یک عدد سه رقمی دلخواه بنویسد، که هیچکدام از ارقام آن صفر یا یک نباشد. سپس جای یکان و صدگان را در این عدد عوض کند، و عدد دیگری به دست آورد. آن گاه دو عدد حاصل را از هم کم کند. سپس در تفاضل حاصل جای یکان و صدگان را عوض نماید. حالا مجموع دو عدد اخیر را بیابد. سر انجام سن خود را (برحسب سال) به عدد حاصل بیفزاید، و عدد به دست آمده را روی یک ورقه کاغذ بنویسد، و به شما تحویل دهد. اکنون کتفی است، که شما از عدد مزبور عدد ثابت 1089 را کم کنید، تا سن دوستتان معلوم شود.

مثال: دوست هجده ساله ی شما را در نظر می گیریم. فرض می کنیم، وی 682 را نوشته است. جای یکان و صدگان را عوض می کند، تا 286 حاصل شود. تفاضل آن دو 396 می شود. مجدداٌ با تعویض جای یکان و صدگان 693 به دست خواهد آمد، که جمع دو عدد اخیر 1089 می شود، مجموع آن با 18 مساوی 1107 می گردد. کافی است، که 1107 به شما گفته شود، تا شما عدد ثابت 1089 را از آن کم کنید، که مسلماٌ پاسخ آن 18 سن دوست شما خواهد بود.

4)   و بالاخره می توانید با روش خاص زیر حدس بزنید، که سن دوست شما چند سال و چند ماه و چند روز است! برای این کار به دوستتان پیشنهاد کنید، بدون اینکه شما در جریان باشید، اعمال زیر را به ترتیب انجام دهد: ابتدا روز تولد روز خود را به 4 ضرب کند. سپس نتیجه را به 5 ضرب نماید. آن گاه عدد حاصل را با 77 جمع کند. و عددی را که حاصل می شود، مجدداٌ به 5 ضرب نماید، و عدد به دست آمده را با شماره ی ترتیب ماه تولد خود جمع کند، و درعدد حاصل نیز همین کارها را تکرار نماید (ضربدر4، ضربدر 5، جمع کردن با 77، ضرب کردن در 5). سر انجام سن خود را بر حسب سال به عدد اخیر بیفزاید، و روی یک صفحه کاغذ بنویسد، و به شما تحویل دهد. حال کافی خواهد بود، که دو رقم سمت چپ آن روزها، و دو رقم وسط آن ماه تولد، و دو رقم سمت راست آن سن شخص را نشان خواهد داد.

مثال: دوست شما 23 ساله است، و در 17 مهر ماه به دنیا آمده است. او به ترتیب اعمال ریاضی زیر را انجام خواهد داد:

68=4×17

340=5×68

417=77+340

2085=5×417

41840=5×4×(7+2085)

209585=5×(77+41840)

209608=23+209585

و تنها عدد آخر به شما تحویل داده می شود، تا شما از آن عدد ثابت 38885 کم کنید، و 170723 به دست آورید و پس دوست شما در 17 مهر ماه یعنی هفتمین ماه سال به دنیا آمده است، و 23 سال سن دارد.